Całki Ciągi rekurencyjne Funkcje trygonometryczne

Wzory rekurencyjne w całce z funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie 1: Podstawowe wzory rekurencyjne

W poniższych wzorach zakładamy, że \( n,m > 1 \)

\( \int \sin^{ n } (ax) dx = - \frac{ \sin^{ n-1 }(ax) \cos (ax) }{ na } + \frac{ n-1 }{ n } \int \sin^{ n-2 } (ax) dx, \)

\( \int \cos^n (ax) dx = \frac{ \cos^{ n-1 }(ax) \sin (ax) }{ na } + \frac{ n-1 }{ n } \int \cos^{ n-2 } (ax) dx, \)

\( \int \sin^n (ax) \cos^m (ax) dx = \frac{ \sin^{ n+1 }(ax) \cos^{ m-1 } (ax) }{ a(n+m) } + \frac{ m-1 }{ n+m } \int \sin^n (ax) \cos^{ m-2 } (ax) dx, \)

\( \int \sin^n (ax) \cos^m (ax) dx = - \frac{ \sin^{ n-1 }(ax) \cos^{ m+1 } (ax) }{ a(n+m) } + \frac{ n-1 }{ n+m } \int\sin^{ n-2 } (ax) \cos^{ m } (ax) dx. \)

Przykład 1:

Stosując wzór rekurencyjny oblicz całkę

(1)

\( \int \sin^6 (2x) dx. \)

Skorzystajmy z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne, przyjmując we wzorze na \( \int \sin^{ n } (ax) dx, \) że \( n=6 \) i \( a=2 \)

\( I=\int \sin^6 (2x) dx = - \frac{ \sin^5 (2x) \cos (2x) }{ 6 \cdot 2 } + \frac{ 5 }{ 6 } \int \sin^{ 4 } (2x) dx. \)

Chcąc obliczyć całkę \( \int \sin^{ 4 } (2x) dx \) ponownie skorzystamy z wzoru z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne, tym razem przyjmując \( n=4 \) i nadal \( a=2 \)

\( \begin{align*}I&=- \frac{ \sin^5 (2x) \cos (2x) }{ 6 \cdot 2 } + \frac{ 5 }{ 6 } \left( - \frac{ \sin^3 (2x) \cos (2x) }{ 4 \cdot 2 } + \frac{ 3 }{ 4 } \int \sin^{ 2 } (2x) dx \right) \\&=- \frac{ 1 }{ 12 }\sin^5 (2x) \cos (2x) - \frac{ 5 }{ 48 } \sin^3 (2x) \cos (2x) + \frac{ 15 }{ 24 } \left(- \frac{ \sin (2x) \cos (2x) }{ 2 \cdot 2 } + \frac{ 1 }{ 2 } \int dx\right).\end{align*} \)

Ostatecznie otrzymujemy

\( \begin{align*}I &=- \frac{ 1 }{ 12 }\sin^5 (2x) \cos (2x) - \frac{ 5 }{ 48 } \sin^3 (2x) \cos (2x) - \frac{ 15 }{ 96 } \sin (2x) \cos (2x) +\frac{ 15 }{ 48 } x+C\\&=- \frac{ 1 }{ 192 }\sin (4x) \left(\cos (8x) - 9 \cos (4x) +23\right) +\frac{ 15 }{ 48 } x+C.\end{align*} \)

Przykład 2:

Stosując wzór rekurencyjny oblicz całkę

\( \int \cos^5 x dx. \)

Przyjmując \( n=5 \) i \( a=1 \) w odpowiednim wzorze z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne mamy

(2)

\( I=\int \cos^5 x dx = \frac{ \cos^4 x \sin x }{ 5 }+\frac{ 4 }{ 5 } \int \cos^3 x dx \)

Aby obliczyć \( \int \cos^3 x \,dx \) ponownie stosujemy wzór podstawiając \( n=3 \) i \( a=1 \)

\( I=\frac{ 1 }{ 5 }\cos^4 x \sin x+\frac{ 4 }{ 5 } \left( \frac{ \cos^2 x \sin x }{ 3 }+\frac{ 2 }{ 3 } \int \cos x dx \right) \)

Zatem

\( I=\frac{ 1 }{ 5 }\cos^4 x \sin x+\frac{ 4 }{ 15 } \cos^2 x \sin x+\frac{ 8 }{ 15 } \sin x +C. \)

Uwaga 1:

Zastosowanie podstawienia \( \sin x=t \), niż tylko korzystanie z wzorów rekurencyjnych, prowadzi do prostszego rozwiązania powyższej całki.

Przykład 3:

Stosując wzór rekurencyjny oblicz całkę

(3)

\( \int \sin^3 x \cos^5 x dx. \)

Do rozwiązania całki posłużymy się wzorem z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne, który obniża stopień funkcji \( sinus \)

\( I=\int \sin^3 x \cos^5 x \, dx = -\frac{ \sin^2 x \cos^6 x }{ 3+5 }+\frac{ 4 }{ 3+5 }\int \sin x \cos^5 x \, dx \)

Natomiast całkę \( \int \sin x \cos^5 x \, dx \) obliczymy stosując podstawienie \( t=\cos x \):

\( \int \sin x \cos^5 x \, dx=\left| \substack{ t=\cos x \\ dt = -\sin x dx } \right|= -\int t^5 \,dt = -\frac{ t^6 }{ 6 }+C=-\frac{ 1 }{ 6 } \cos^6 x+C \)

Wracając do początkowej całki otrzymujemy

\( I= -\frac{ 1 }{ 8 }\sin^2 x \cos^6 x+\frac{ 1 }{ 12 } \cos^6 x+C. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Wzory rekurencyjne w całce z funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie 1: Podstawowe wzory rekurencyjne

Przykład 1:

Przykład 2:

Uwaga 1:

Przykład 3: